Kalkulator trójkąta 30 60 90
Z naszym Omni kalkulatorem trójkąta 30 60 90 możesz rozwiązać zadania związane z tym szczególnym trójkątem prostokątnym. Niezależnie od tego, czy szukasz wzorów na trójkąt 30 60 90 i jego przeciwprostokątną, zastanawiasz się nad proporcjami trójkąta 30 60 90, czy po prostu chcesz sprawdzić, jak wygląda ten trójkąt — zapewniamy, że jesteś we właściwym miejscu. Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej o tym szczególnym trójkącie prostokątnym 🇺🇸, lub sprawdź nasze bliźniacze narzędzie dla innego trójkąta — trójkąta 45 45 90.
Jak rozwiązać trójkąt 30 60 90?
Zacznijmy od wyjaśnienia, co oznaczają liczby „30 60 90”. Jeśli mówimy o trójkącie 30 60 90, mamy na myśli kąty trójkąta, które są równe 30°, 60° i 90°.
Przyjmijmy, że krótsza przyprostokątna trójkąta 30 60 90 jest równa a. Wtedy:
- Dłuższa przyprostokątna jest równa a√3.
- Przeciwprostokątna jest równa 2a.
- Pole jest równe a²√3/2.
- Obwód jest równy a(3 + √3).
Jak widzisz, wzory związane z trójkątem 30 60 90 są dość proste. Ale skąd się wzięły? Sprawdźmy, jakich metod można użyć do ich udowodnienia:
- Zastosuj własności trójkąta równobocznego.
Czy zauważyłeś, że ten trójkąt to po prostu połowa trójkąta równobocznego 🇺🇸? Jeśli pamiętasz wzór na wysokość trójkąta równobocznego, to masz odpowiedź na to, jaka jest długość dłuższej przyprostokątnej. Jest ona równa bokowi trójkąta pomnożonemu przez pierwiastek kwadratowy z 3, podzielony przez 2:
h = c√3/2
, h = b
oraz c = 2a
, więc
b = c√3/2 = a√3
.
- Wykorzystaj trygonometrię.
Jeśli znasz już podstawy trygonometrii, to możesz wykorzystać np. sinus i cosinus kąta 30°, aby znaleźć długości pozostałych boków:
a/c = sin(30°) = 1/2
więc c = 2a
.
b/c = sin(60°) = √3/2
więc b = c√3/2 = a√3
.
Ponadto, jeśli znasz dwa boki trójkąta, to trzeci możesz znaleźć z twierdzenia Pitagorasa 🇺🇸. Jednakże opisane powyżej metody są o wiele bardziej przydatne, gdyż wymagają podania tylko jednego boku trójkąta 30 60 90.
Boki trójkąta 30 60 90
Jeśli znamy długość krótszego boku a
, to możemy stwierdzić, że:
-
b = a√3
-
c = 2a
Jeśli dłuższa przyprostokątna b
jest naszą daną, to:
-
a = b√3/3
-
c = 2b√3/3
Dla znanej długości przyprostokątnej c
, wzory na pozostałe boki wyglądają następująco:
-
a = c/2
-
b = c√3/2
Możesz też po prostu wpisać którykolwiek bok w nasze narzędzie, a kalkulator trójkąta 30 60 90 zrobi resztę!
Jakie są własności trójkąta 30 60 90?
Najważniejszą zasadą, którą warto zapamiętać, jest informacja, że ten szczególny trójkąt ma jeden kąt prosty, a stosunek długości jego boków jest łatwy do zapamiętania — stosunek ten wynosi a : a√3 : 2a. Ponadto niezwykłą własnością trójkąta 30 60 90 jest to, że jest to jedyny trójkąt prostokątny z wartościami kątów będących ciągiem arytmetycznym.
Co to jest ciąg arytmetyczny? Sprawdź nasz kalkulator ciągu arytmetycznego aby dowiedzieć się więcej!
🙋 Dowiedz się więcej o innych rodzajach trójkątów prostokątnych w naszym kalkulatorze szczególnych trójkątów prostokątnych!
Jakie są proporcje kątów i boków w trójkątach 30 60 90?
W trójkącie 30 60 90 stosunki wynoszą:
- 1 : 2 : 3 dla kątów (30° : 60° : 90°), oraz
- 1 : √3 : 2 dla boków (a : a√3 : 2a).
Jak rozwiązać zadanie z trójkątem 30 60 90 - przykład
Z naszego artykułu powinniście znać już zasady rozwiązywania trójkątów 30 60 90. Teraz najwyższy czas, abyście zastosowali zdobytą wiedzę!
- Wprowadź daną wartość. Powiedzmy, że chcemy sprawdzić, jak wyznaczyć długości boków i kątów dla trójkąta 30 60 90 z naszego zestawu ekierek. Na dłuższym boku (dłuższej przyprostokątnej) znajduje się skala. Przyjmijmy, że ta długość wynosi 15 cm. Wpisz więc 15 w pole kalkulatora oznaczone literką
b
. - Tylko spójrz! Wszystkie pozostałe wartości się pojawiły w kalkulatorze! Dzięki kalkulatorowi trójkąta 30 60 90 dowiadujemy się, że:
- Krótsza przyprostokątna ma długość 8,66 cm — bo
a = b√3/3 = 15 cm ∙ √3/3 ≈ 8,66 cm
. - Przeciwprostokątna jest równa 17,32 cm — bo
c = 2b√3/3 = 2a ≈ 17,32 cm
. - Pole powierzchni wynosi 65 cm² — to wynik wymnożenia długości przyprostokątnych i podzielenia przez 2:
pole = a²√3 ≈ 65 cm²
. - Obwód jest równy 41 cm — dodając wszystkie boki otrzymujemy taki właśnie wynik:
obwód = a + a√3 + 2a = a(3 + √3) ≈ 41 cm
.
FAQ
Jak znaleźć przyprostokątne trójkąta 30 60 90 znając przeciwprostokątną?
Jeśli przeciwprostokątna trójkąta 30 60 90 ma długość c
, to przyprostokątne można znaleźć w następujący sposób:
- Dzielimy długość przeciwprostokątnej przez
2
. - Mnożymy wynik z kroku 1 przez
√3
, czyli przez około1,73
. - Liczba, którą otrzymałeś w kroku 1 to krótsza przyprostokątna twojego trójkąta.
- Liczba, którą otrzymałeś w kroku 2 to dłuższa przyprostokątna.
Jakie jest pole trójkąta o wymiarach 30 60 90, którego przeciwprostokątna ma długość 10?
Pole powierzchni wynosi 21,65. Aby otrzymać ten wynik, użyj wzoru pole = a²√3/2
, gdzie a
to krótsza przyprostokątna twojego trójkąta. Przypomnijmy, że krótszy bok to połowa przeciwprostokątnej, więc w naszym przypadku a = 10 / 2 = 5
. Wstawiając tę wartość do wzoru na pole powierzchni, otrzymujemy pole = 25√3/2 ≈ 21,65
.